Практическая работа № 4. Определение внутренней энергии идеального газа

Теория: Внутренняя энергия идеального одноатомного газа.

Внутренняя энергия газа: , где i – число степеней свободы

i = 3 – для одноатомного газа

i = 5 – для двухатомного газа

i = 6 – для много атомного газа

Изменение внутренней энергией определяется формулой:

/

Используя уравнение Менделеева-Клайперона , перепишем его для случае изменения объема, при постоянном давлении:

.

Тогда изменение внутренней энергии примет вид:

.

Задание: Решить задачи

1. Показать, что внутренняя энергия U воздуха в комнате не зависит от температуры, если наружное давление р постоянно. Вычислить U, если р равно нормальному атмосферному давлению и объем комнаты V = 40 м³.

2. Кислород, находившийся при нормальных условиях в закрытом сосуде объемом V = 6 л, охладили на ΔT = 60 К. Найти приращение внутренней энергии газа и количество отданного им тепла.

3. Определить  изменение внутренней энергии водорода массой m=0,2 кг при нагревании его от температуры t₁=0 °С до температуры t₂= 100 °С при постоянном давлении.

4. Азот массой m = 4 г был нагрет на ΔT=10 К при постоянном давлении. Определить изменение внутренней энергии.

5. Газ, занимавший объем V₁=12 л под давлением p₁=100 кПа, был изобарно нагрет от температуры T₁=300 К до T₂=400 К. Определить изменение внутренней энергии газа.

7.  Какова внутренняя энергия гелия, заполняющего аэростат объемом 70 м³ при давлении 150 кПа?

8. При уменьшении объема одноатомного газа в 2 раза его давление увеличилось в 1,5 раза. Во сколько раз изменилась внутренняя энергия?

9. Теплоизолированный сосуд разделен тонкой теплонепроницаемой перегородкой на две равные части, в каждой из которых содержится один и тот же идеальный газ при температуре 230 К и давлении 150 кПа. После нагревания газа в одной из половин сосуда на 91 К стенка разрушается. Определите давление газа после установления теплового равновесия.

10. В вертикальном цилиндрическом сосуде с площадью сечения 10 см² находится гелий. Сосуд закрыт подвижным поршнем массой 12 кг, поршень находится в состоянии равновесия на расстоянии 110см от дна сосуда. Сосуд аккуратно кладут на стол так, что поршень начинает двигаться горизонтально. Определите максимальную скорость поршня при условии, что трение и тепловые потери отсутствуют.

Методические указания.

Задача 1. Идеальный газ перевели из состояния с давлением с давлением p₁ = 204 кПа и объемом V = 90 л в состояние с давлением p₂ = 170 кПа и объемом V₂ = 108 л. Определите изменение внутренней энергии газа в этом процессе.

Решение:

Внутренняя энергия газа в начале процесса

 ,

где i − число степеней свободы одной молекулы газа, 

v − его количество, 

R − молярная газовая постоянная, 

T₁ и T₂ − начальная и конечная температуры газа.
 

С учетом уравнений газового состояния 

p₁V₁ = vRT₁ и p₂V₂ = vRT₂.

Искомая величина ΔU = (i/2)(p₁V₁ − p₂V₂).

Выполнив арифметические расчеты, получим ΔU = 0.

Задача 2.  На диаграмме показан процесс изменения состояния фиксированного количества вещества идеального одноатомного газа. Опираясь на свои знания по молекулярной физике, объясните, как изменяется объем газа по мере его прохождения из состояния 1 в состояние 2.

Решение: Обращаем внимание, что график дан в координатах р,Т. На графике представлены произвольные процессы перехода газа из одного состояния в другое. Потому для того, чтобы ответить на вопрос, нужно провести через точки 1, 2 и некоторую промежуточную точку изохоры. По рисунку видно, что при переходе газа из состояния 1 в состояние 2 угол наклона изохор уменьшается. Следовательно, объем газа постоянно увеличивается.

Задача 3. На рисунке приведен график зависимости концентрации молекул в насыщенном водяном паре от температуры. Во сколько раз изменится внутренняя энергия 2 м³ насыщенного пара при  изменении его температуры от 0 до 40°С?

 Решение:

Можно считать насыщенный пар идеальным газом.

Потому для него применима формула для вычисления внутренней энергии,  т.е. U  ̴ pV.

По закону Авогадро p = nkT. Тогда внутренняя энергия зависит от концентрации, объема и температуры так же прямо пропорционально:

U  ̴ nVT.

Можно составить пропорцию: 

 .

По графику находим, что при температуре 0°С, т.е. 273 К концентрация равна 2 ∙ 10²⁴ м ^{– 3},

а при температуре 40°С,

т.е. 313К  - 18 ∙ 10²⁴ м ^{– 3}.

Внутренняя энергия увеличилась в 10,3 раз.

Задача 4.   Теплоизолированный сосуд разделен тонкой теплонепроницаемой перегородкой на две равные части, в каждой из которых содержится один и тот же идеальный газ при температуре 290 К и давлении 180 кПа. После нагревания газа в одной из половин сосуда на 96 К стенка разрушается. Определите давление газа после установления теплового равновесия.

Решение: Задача решается с применением закона сохранения энергии. До разрушения стенки газ в обоих сосудах обладал внутренней энергией U₁ и U₂. После разрушения в общем сосуде установилась температура Т и газ обладал внутренней энергией U.

                        U₁ + U₂ = U

Газ в первом сосуде изменил свое состояние. В первом состоянии он обладал параметрами p₁, V, T₁. Во втором – p₂, 2V, T. Масса газа не менялась, потому можно использовать уравнение Клайперона:

Задача 5.  В вертикальном цилиндрическом сосуде с площадью сечения 18 см² находится гелий. Сосуд закрыт подвижным поршнем массой 17 кг, поршень находится в состоянии равновесия на расстоянии 12 см от дна сосуда. Сосуд аккуратно кладут на стол так, что поршень начинает двигаться горизонтально. Определите максимальную скорость поршня при условии, что трение и тепловые потери отсутствуют.

Решение: Эту задачу также легко решить, используя закон сохранения энергии системы газ-поршень.  В первом состоянии газ имел внутреннюю энергию U₁, во втором состоянии – U₂. В первом случае поршень был неподвижен, т.к. находился в равновесии, во втором – обладал кинетической энергией. Причем, его скорость была максимальной в начальный момент времени, когда объем газа был равен первоначальному